< f a c t o r i e l l e n ! >

http://factorielle.free.fr/

Ce site est une référence pour la notation factorielle n!, et essaie de proposer une documentation la plus complète sur ce sujet. Nous espèrons que vous serez satisfaits; pour des remarques, liens, informations, suggestions... faites nous part de vos idées! Nous vous en serons très reconnaissants! :)

Plan du site:
- Définition
- Quelques résultats
- Histoire, biographies
- Programmation
- Liens
- A propos de ce site

Définition

En mathématiques, la factorielle d'un nombre entier naturel n, notée n!, est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Ce qui s'écrit :

$n! = \prod_{i=1}^n i = 1\times 2\times 3 \cdots \times (n-1) \times n$

Exemples :

1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800

La définition de la factorielle sous forme de produit rend naturelle la convention 0!=1 puisque 0! est un produit vide. Cela permet à de nombreuses formules de ne pas avoir d'exception.

La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparait dans de nombreuses formules en mathématiques, comme par exemple la formule du binome et la formule de Taylor.

La formule de Stirling donne un équivalent de n! quand n est grand:

$\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}=1.$

Pour tout entier n, on a $Γ(n + 1) = n!$ où Γ est la fonction gamma d'Euler. Γ permet donc de prolonger la factorielle à l'ensemble des nombres complexes privé des entiers strictement négatifs.

Les formules énoncées précédemment et des exemples d'utilisation de la notation factorielle sont regroupés sur la page Exemples.

Quelques résultats

0!		10! .. 500!	666!
1000!	2000!	5000!	2002!
10 000!	20 000!	50 000!	2003!
100 000!	200 000!	500 000!	150 000!
1 000 000!	2 000 000!

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Histoire, biographies

De multiples scientifiques ont travaillé sur ce sujet, mais les principaux inventeurs sont J. Stirling en 1730 qui donne la formule asymptotique après quelques travaux en collaboration avec de Moivre, puis Euler en 1751 et enfin C. Kramp et Arbogast qui introduisent entre 1808 et 1816 la notation d'aujourd'hui: n!. Bien entendu, on ne peut pas parler de cette notation sans parler des nombreux hommes de sciences qui ont travaillés avec, tels que Taylor.

Programmation

La factorielle d'un nombre peut être calculée en utilisant un algorithme récursif ou itératif. Voici divers programmes qui permettent de calculer la factorielle d'un nombre.

Ada
fact.adb
Calcule et affiche n! pour 0 <= n <= 12.

Assembleur 80*86
fact.asm

Langage C
fact_c.tar.gz
Par Julien Graziano.

C++
fact.cpp
By Calum Grant.

Haskell
Evolution of a haskell programmer
Par Fritz Ruehr.

Langage Java
Fact.java
Calcule et affiche n! pour 0 <= n <= 12.

Perl
fact1.pl
fact2.pl

PHP
fact.php
Par Pierre.

Python
fact.py

Scheme
fact.scm
Calcule et affiche n! pour n! < 2^32.

Shell UNIX
fact.sh
Calcule et affiche n! pour 0 <= n <= 12.

Liens

http://regentsprep.org/Regents/math/factnot/Lfact.htm <-- Oswego City School (State University of New York) District Regents Exam Center. Pour les plus jeunes, les factorielles expliquées avec de nombreuses animations. Beaucoup d'autres ressources en mathématiques.
http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html<-- Earliest Uses of Various Mathematical Symbols, site présentant l'origine d'autres notations mathématiques usuelles, + - / etc. Floride, Etats-Unis.
Almanach des nombres - factorielle, arrangement, permutation ... http://membres.lycos.fr/villemingerard/Compter/SixFact.htm
Wolfram research: factorielle et associées http://documents.wolfram.com/v4-fr/index65.html
Sciencesen ligne: factorielle n! http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/anx1/factorielle.html
Lyon 1: Calculatrice factorielle http://www.univ-lyon1.fr/IREM/CF/fact.html
Recreomath: Factorielle http://www.recreomath.qc.ca/dict_factorielle.htm
Bordeaux 1: Variations sur la factorielle http://www.labri.fr/Perso/~betrema/deug/C/td1.html
Créteil calcul de n! en ligne http://www.ac-creteil.fr/util/programmation/javascript/Jour2/exos-corrig%C3%A9s/cjs4exo3.htm
http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm <-- Ce site propose de différents algorithmes du calcul des factorielles.

A propos de ce site

Pourquoi ce site?

Nous n'avons pas trouvé de site consacré à cette notation mathématique. Nous avons donc décidé de mettre en ligne les travaux que nous avions fait sur ce sujet en cours d'informatique et dans l'option epistémologique "histoire du concept du nombre", à l'Université des Sciences et Technologies de Lille. Par la suite, nous avons continué de le développer. Nous sommes sensibles au partage de la connaissance, et de très nombreux extraits de ce site ont été mis sur Wikipedia, ce qui leur permet d'être amélioré constamment.

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