Quelques exemples d'utilisation de la factorielle
On rencontre systématiquement
cette notation en analyse (dérivation, intégration, étude
de suites et de séries) et dans les problèmes de dénombrement
(statistiques, probabilités).
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Ensembles - Probabilités
On note C = combinaison
et A = arrangement
Le coefficient binomial de l'entier naturel n et de l'entier naturel k est défini comme étant l'entier naturel:
et 
Exemple de problèmes:
Les manteaux
On dispose de 6 portes manteaux, de combien de façons peut-on placer
6 manteaux, sans les empiler?
1er manteau: 6 possibiltés
2e manteau: 5 possibiltés
3e manteau: 4 possibiltés
4e manteau: 3 possibiltés
5e manteau: 2 possibiltés
6e manteau: 1 possibiltés
Il y a donc 6*5*4*3*2*1=6! façons de les placer.
L'urne
Dans une urne contenant 5 boules, on tire 3 boules simultanement. Combien
de combinaisons differentes peut-on réaliser?
Il y a (C de 3 parmi 5) soit (A de 3 parmi 5) / 3! soit encore 5*4*3 /
3*2 = 10 combinaisons différentes réalisables.
Tirage du loto
Règles du Loto:
Vous cochez 6 numéros par grille de 49 numéros.
Vous jouez 2, 4, 6 ou 8 grilles.
Vous cochez également la case correspondant au(x) jour(s) de tirages
de votre choix (mercredi ou samedi ; mercredi et samedi).
Les numéros gagnants (6 numéros + 1 numéro complémentaire)
sont déterminés par tirage au sort et permettent de définir
les différents rangs de gains.
Combinaisons de 6 boules parmi 49 = 49*48*47*46*45*44 / 6*5*4*3*2*1 =
(A de 6 parmi 49) / 6! = 13 983 816.
Suites
Exercice utilisant les factorielles
Pour tout entier n>=1, posons u(n)=1/1!+1/2!+...+1/n! et v(n)=u(n)+1/n.n!
a) montrer que kes suites u(n) et v(n) sont adjacentes
b) En deduire que la suite u(n) est convergente
c) Posons lim u(n)=a. Trouver un intervalle contenant a et de longueur
inférieure à 0,02
(ici a est egal au nombre e, base du logarithme népérien,
en effet dans la formule des developpement limités de exp(x), prendre
x=1)
Développements limités
Formule de Taylor au point a et a l'ordre n + 1
Corollaire ou Inégalité de Taylor
Formule des developpements limités
Formules de Stirling
Repésentation en série (asymptotic series expansions)
Fonctions utilisant la notation n!
La fonction gamma.
Cette fonction est définie dans le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive par l'intégrale suivante:
.
Quand cela a un sens: Γ(x + 1) = xΓ(x); et en particulier, comme Γ(1) = 1,
.
Approximation de Stirling:
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
Factorielles et Permutations:
http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html
96 autres formules utilisant cette notation:
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/
Fonctions bêta, fonctions gammas:
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/
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