< f a c t o r i e l l e n ! >
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Arbogast
Louis François Antoine Arbogast est
un mathématicien français, né à Mutzig (Alsace)
le 4 octobre 1759 et mort à Strasbourg (France) le 18 avril 1803.
Il fut professeur de mathématiques au Collège de Colmar et
pris part à une compétition mathématique lancée
par l'Académie de Saint-Pétersbourg. Cela lui apporta la célébrité
et une place importante dans l'histoire du développement du calcul.
Arbogast soumis un essai à l'Académie de Saint-Pétersbourg dans lequel il se range
du côté d'Euler.
En fait il alla plus loin qu'Euler dans le type de fonctions arbitraires introduites
par intégration, prétendant que non seulement les fonctions
pouvaient être discontinues dans le sens limité d'Euler,
mais discontinues dans un sens plus général
qu'il définit comme permettant à des fonctions d'être des portions
de différentes courbes. Arbogast gagna le prix avec son essai et sa
notion de fonction discontinue devint importante dans l'approche analytique
plus rigoureuse de Cauchy.
En 1789 il soumit à Strasbourg
un rapport majeur sur le calcul différentiel et intégral à
l'Académie des Sciences de Paris qui ne fut jamais publié.
Plus tard, dans la préface d'un travail il décrit les idées
qui l'ont poussées à écrire ce rapport majeur. Il réalisa
esssentiellement qu'il n'y avait aucune méthode rigoureuse qui allait avec
la convergence des séries, et la carrière d'Arbogast se trouva
propulsée vers le haut. En plus de son poste de mathématiques,
il était professeur de physique au Collège Royal de Strasbourg
et il y servit comme recteur à partir d'avril 1791, jusque octobre
1791 où il fut nommé recteur de l'Université de Strasbourg;
en 1794 il devint Professeur de Calcul a l'Ecole Centrale (qui allait bientôt
devenir l'Ecole Polytechnique) mais il enseigna à l'Ecole Préparatoire.
Ses contributions aux mathématiques
montrent comment un philosophe doit faire face à son époque.
Aussi bien qu'il introduit les fonctions discontinues, comme nous disions
précédemment, il conçu le calcul en tant que symbols
opérationnels. La manipulation algébrique formelle des séries,
sur laquelle ont travaillé Lagrange et Laplace dans les années
1770, a été mise en forme d'égalités d'opérateurs
par Arbogast en 1800. On lui doit le concept général
de factorielle en tant que produit d'un nombre fini de termes en progression
arithmétiques.
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De Moivre
Abraham de Moivre est un mathématicien français
né à Vitry (France) le 26 mai 1667 et mort à Londres
(Angleterre) le 27 novembre 1754.
Protestant, de Moivre émigra en Angleterre en 1685 à la révolution
de l'Edit de Nantes et l'expulsion des Hugonots; et en 1697, il est élu
membre de la Royal Society de Londres (l'équivalent
de l'Académie des Sciences de Paris).
De Moivre
était un precurseur du développement de la géométrie
analytique et de la théorie des probabilités. Il publia The Doctrine of Chance (La doctrine de la chance)
en 1718. La définition d'une indépendance
statistique apparait dans cet ouvrage, ainsi que de nombreux problèmes,
par exemple à propos des dés et beaucoup d'autres jeux. Il a également
étudié les statistiques de mortalité et la base de la théorie
d'annuités. Dans Miscellanea Analytica (1730) apparait la formule
de Stirling (attribuée à tort
à Stirling) que de Moivre utilisa en
1733 pour décrire la courbe normale comme une approximation de la binomiale.
Dans une seconde édition de l'ouvrage en 1738 de Moivre crédite Stirling d'une amélioration de
la formule. On se souvient également de de Moivre pour sa formule pour (cos x
+ i sin x)^n que l'on trouve aussi bien en trigonométrie qu'en analyse.
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Euler
Euler, Leonhard (1707-1783), mathématicien suisse, physicien, ingénieur et philosophe.
Né à Bâle, Euler y suit à l'université
les cours de Jean Ier Bernoulli et obtient sa maîtrise à
l'âge de seize ans. En 1727, sur l'invitation de Catherine Ire,
impératrice de Russie, il devient membre de la faculté
de l'Académie des sciences à Saint-Pétersbourg.
Il est nommé professeur de physique, en 1730, et professeur de
mathématiques, en 1733. En 1741, à la demande du roi de
Prusse Frédéric le Grand, il devient professeur de mathématiques
à l'Académie des Sciences de Berlin. Il retourne à
Saint-Pétersbourg en 1766, et y reste jusqu'à sa mort. Bien
que handicapé avant l'âge de trente ans par une perte partielle
de la vue et plus tard par une cécité quasi totale, Euler
a réalisé de nombreux travaux mathématiques importants
et des centaines de mémoires mathématiques et scientifiques.
Dans son Introduction à l'analyse des infiniment petits (1748),
Euler est le premier à traiter de manière analytique
et complète l'algèbre, la théorie des équations,
la trigonométrie et la géométrie analytique. Dans
ce travail, il traite du développement en séries des fonctions
et formule la règle selon laquelle seules les séries infinies
convergentes peuvent être correctement évaluées.
Il discute aussi des surfaces à trois dimensions et prouve que les
sections coniques sont représentées par l'équation
générale du second degré à deux variables.
D'autres travaux traitent du calcul infinitésimal, dont le calcul
des variations, de la théorie des nombres,des nombres imaginaires
et de l'algèbre déterminée et indéterminée.
Euler donne aussi des contributions dans les domaines de l'astronomie,
de la mécanique, de l'optique et de l'acoustique. Ingénieur,
il est l'inventeur de la première turbine. Parmi ses ouvrages,
il faut citer Réflexions sur l'espace et le temps (1748), Traité
du calcul différentiel (1755), Établissement du calcul intégral
(1768-1770), Introduction à la théorie de la nature (1755-1759)
et Introduction à l'algèbre (1770).
Dans ses Lettres à une princesse d'Allemagne (1768
et 1772), il se révèle également philosophe, et
combat les thèses de Christian Wolff et de G. W. Leibniz.
Il se consacre également à la syllogistique d'Aristote,
qu'il tente de formaliser avec des cercles, annonciateurs des diagrammes
de Venn. Il a étudié la marche du cavalier au jeu d'échecs.
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Kramp
Christian Kramp est un mathématicien français né le
8 juillet 1760 et mort le 13 mai 1826 à Strasbourg (France).
Le père de Christian Kramp était
professeur au lycée de Strasbourg. Kramp étudia la médecine,
après avoir reçu son diplôme, il exerça dans les environs où
le domicile de ses patients s'étendait dans un secteur assez
large. Cependant il s'interessait à bien d'autres
choses que la médecine, et en plus d'un grand nombre de publications
médicales, il publia un ouvrage sur la cristallographie en 1793. En
1795 la France annexa la Rhénanie dans laquelle Kramp exerçait, il
devint alors professeur à Cologne (cette ville étant française
de 1794 à 1815), enseignant les mathématiques, la chimie et
la physique.
Kramp fut nommé professeur de mathématiques
dans sa ville natale de Strasbourg, en 1809. Il fut élu à la
section de géométrie de l'Académie des Sciences en 1817.
Comme Bessel, Legendre et Gauss, Kramp travailla sur la fonction factorielle
généralisée qui s'applique aux nombres qui ne sont pas
des entiers. Son travail sur les factorielles est indépendant de ceux
de Stirling et de Vandermonde. Il fut le premier
a utiliser la notation n! (Elements
d'arithmétique universelle, 1808). En fait le concept de factorielle
plus général fut trouvé à la même époque
par Arbogast.
Extraits des Elements d'arithmétique universelle: http://members.aol.com/jeff570/stat.html
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Stirling
James Stirling est un mathématicien écossais, né en mai
1692 à Garden (près de Stirling, en Ecosse), et mort le 5 décembre
1770 à Edinburg (Ecosse).
Il a été découvert par Newton. En 1717 Stirling enseigna
à Venise et publie ses premiers travaux à Rome, Lineae Tertii
Ordinis Neutonianae, qui développent la théorie de Newton
sur les courbes planes de degré 3, ajoutant un nouveau niveau de courbes
aux 72 données par Newton. Ses travaux furent publiés à
Oxford et Newton lui-même en reçu une copie. Lineae
Tertii Ordinis Neutonianae contient d'autres résultats que Stirling
avait obtenu. Ce sont des résultats sur les courbes à descente
rapide, sur les enchaînements (en particulier ces problèmes
sont relatifs à placer des sphères dans une voûte), et sur les trajectoires orthogonales.
Le problème des trajectoires orthogonales a été
soulevé par Leibniz et de nombreux mathématiciens autres que
Stirling travaillèrent sur le problème, ainsi Johann Bernoulli , Nicolaus(I) Bernoulli , Nicolaus(II)
Bernoulli, et Leonard Euler. On sait que Stirling résolut ce problème
début 1716.
A Londres, Stirling publia ses principaux
travaux Methodus Differentialis en 1730. Ce livre porte sur les séries infinies,
l'addition, la somme, l'interpolation et les puissances carrées. A
cette époque Stirling était en correspondance avec de Moivre,
Cramer et Euler. La formulation
asymptotique de n!, pour laquelle Stirling est le plus connu, apparait à
l'Exemple 2 dela Proposition 28 de Methodus
Differentialis. Un des principaux objectifs de cet ouvrage était d'étudier
des méthodes pour accélerer
la convergence des séries. Stirling note
d'ailleurs dans sa préface que Newton avait étudié ce
problème. Dans Methodus Differentialis,
beaucoup d'exemples de ses méthodes
sont données, dont le problème de Leibniz de pi/4=1-1/3+1/4-1/5+1/6-... et
il donne également un théorème à propos de le
convergence d'un produit infini. Dans ses travaux sur l'accélération
de la convergence des séries se trouve une discussion des méthodes
de de Moivre. L'ouvrage contient d'autres
résultats sur la fonction gamma et la fonction hypergéometrique.
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Taylor
Brook Taylor est un éclectique homme de sciences anglais, né
à Edmonton (Angleterre) le 18 août 1685, et mort à Londres
le 29 décembre 1731. Il s'intéressa à la musique, la peinture
et la philosophie.
En 1712 Taylor fut admis à la Royal
Society de Londres (l'équivalent de l'Académie des Science
de Paris). C'était le 3 avril, et il est clair que son élection
fut plus basée sur une expertise de Machin, Keill et d'autres illustres,
que sur les publications de ses résultats. Ainsi Taylor écrivit
à Machin en 1712 pour lui fournir la solution d'un problème concernant
la deuxième loi de Kepler sur les mouvements des planètes.
En 1712 également fut chargé d'un comité pour départager
Newton et Leibniz.
En 1714 Taylor fut
élu scerétaire de la Royal Society (l'équivalent de
l'Académie des Sciences de Paris), et il y resta du 14 janvier 1714
au 21 octobre 1718, quand il dut se résigner à cause de raisons de
santé d'une part, d'autre part par manque de motivation. La période
où il fut secrétaire de la Royal Society de Londres fut celle
de sa vie où il fut le plus productif en mathématiques. Deux
ouvrages furent publiés en 1715, Methodus incrementorum directa and reversed and Linear Perspective
qui sont extrêmement important pour
l'hisoire des mathématiques. Deux secondes éditions furent publiées
respectivement en 1717 et en 1719.
Taylor fit de nombreux séjours en France. C'était
d'une part suite à des problème de santé et d'autre part pour rendre visite
à des amis. Il rencontra Pierre Rémond de Montmort et correspondit
avec lui sur différents sujets de mathématiques après
son retour. En particulier ils discutèrent des séries infinies et
de probabilités. Taylor correspondit aussi avec de Moivre sur les probabilité. A cette
époque ces mathématiciens communiquèrent beaucoup à trois.
Il ajouta aux mathématiques une
nouvelle branche appelée "calcul de differences finies", inventa l'intégration
par partie, et découvrit les séries appelées "expansion de Taylor".
Ces idées furent publiées dans son livre de 1715, Methodus incrementorum
directa and reversed. En fait la première mention par Taylor
de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor
apparait dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le
26 juillet 1712. Dans cette lettre Taylor explique clairement d'où
lui est venue cette idée. C'était dû, écrivait Taylor, à
comment Machin fit au Child's Coffeehouse quand il commenta en utilisant les "séries de Sir
Isaac Newton" pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également
"les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines" d'équations
polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de
Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème
apparait dans la Proposition 11 qui est une généralisation
des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation
de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des
series de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée
par les conversations du Coffeehouse décrites précedemment.
Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et
qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations
fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier
a découvrir ce résultat!
James Gregory, Newton, Leibniz, Johann
Bernoulli et de Moivre ont tous découvert
une variable du théorème de Taylor. Tous ces mathématiciens
ont fait leurs découvertes séparemment, et le travail de Taylor
était aussi indépendant de celui des autres. L'importance du
théorème de Taylor ne fut pas perçue avant 1772 quand
Lagrange proclama que c'etait le principe de base du calcul différentiel!
Le terme "séries de Taylor" semble avoir été utilisé
pour la première fois par Lhuilier en 1786. Taylor présenta
aussi les principes de base de la perspective dans Linear Prospect (1715).
La seconde édition fut appelée New
principles of linear perspective.
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